Tache d'Airy
et
Masque de Bahtinov

Sommaire

Contexte

Cette présentation fait suite à une séance présentée en 2020 par Pascal André sur l'application pédagogique FTL-SE. Cette application permet de mettre en oeuvre, très rapidement, la transformée de Fourier (directe et inverse) sur des images en niveau de gris.
C'est l'envie de ré-activer l'application Maskulator, du regretté Niels Noordhoek qui a motivé mon intérêt. Cette application simule les effets de la défocalisation sur l'image d'une étoile vue à travers un masque de Bahtinov.
Je me suis également inspiré d'une présentation du masque de Bahtinov faite par Fred Rimbert de la société astronomique du Havre.

Réflexion - réfraction - diffraction

au niveau d'une surface

• L'optique géométrique (angle d'incidence = angle de réflexion...) régit le comportement des rayons lumineux : réflexion sur une surface, réfraction à la traversée. Ses lois gouvernent la majorité de ce qu'on perçoit dans une image en astronomie.
• L'optique ondulatoire explique les phénomènes marginaux liés au processus de diffraction, comme les aigrettes autour des étoiles : Au niveau de chaque point de la surface, en plus du rayon réfléchi (ou réfracté) la surface émet une infinité de rayons diffractés dans toutes les directions.

Le principe de Huygens (1768)

Chaque point d’une surface d’onde (S₀) atteinte par la lumière à l’instant t₀ peut être considéré comme une source secondaire produisant des ondelettes sphériques. À l’instant t postérieur à t₀, la surface d’onde (S) est l’enveloppe des surfaces d’ondes émises par les sources secondaires réparties sur (S₀).

La tache d'Airy - 1

• Au foyer, l'image géométrique, d'une étoile située à l'infini, est un point lumineux infiniment petit, qui est de taille inférieure à la taille des pixel.
• À ce point lumineux la diffraction ajoute une image appelée la tache d'Airy.
• En rouge le flux géométrique converge au foyer : point blanc brillant en F.
• En bleu les rayons diffractés axiaux et ceux issus de la couronne de rayon R présentent, à la distance r de l'axe, une différence de marche w = r R / F où F est la distance focale OF.
• Si w = λ/2 ils sont en opposition de phase et s’annihilent.
• Il en résulte que pour r = λF/2R il y a une première couronne où les rayons diffractés périphériques sont en opposition de phase avec les rayons diffractés axiaux. Cela produit un premier anneau sombre dont le rayon limite la partie principale de la tache d'Airy
• Valeur conventionnelle : r_Airy = 1.22 λ F/D = 1.22 λ N_F ==> Φ_Airy = 2.44 λ N_F

La tache d'Airy - 2

• Après le premier anneau noir, il y a des anneaux successifs où les rayons diffractés centraux et périphériques, de plus en plus atténués, sont de nouveau en phase puis en opposition de phase
• Sur une tache d'Airy, avec une collimation parfaite et sans turbulence, on peut percevoir 2 à 3 anneaux autour de la tache centrale.
• Comme le rayon est proportionnel à la longueur d'onde, les anneaux présentent les couleurs de l'arc en ciel, même sur un télescope réflecteur.
• Dans le vert, le diamètre de la tache d'Airy est de l'ordre de :
         Φ_Airy = 277"/D (en mm).
• Pour D = 200 mm :
         Φ_Airy = 1.4" (dans le vert)

Défocalisation admissible et critique

• Capteur en C défocalisé de δ ==> la différence de marche w entre flux axial et flux d'une couronne de rayon r vaut :
  \[ w = \delta - \Delta L \simeq \delta( 1-cos \alpha ) \simeq \delta \frac{r^2}{2 F^2 } \]
• La défocalisation est dite admissible si entre rayon axial et rayon du bord pupille (r = D/2) on a :
  \[w \leqslant \frac{\lambda}{4} \Rightarrow \delta_{adm} = 2 \lambda \]
  On définit aussi :
  \[N_F^2 \delta_{crit} = 4 \lambda N_F^2\]
• Remarque : Pour δ_adm la taille l'image géométrique de l'étoile Φ_adm = δ_admD/F = 2λN_F ce qui est quasiment égale à la taille de la tâche d'Airy Φ_Airy = 2.4λN_F.
• Plus l'optique est fermée (N_F grand), plus la latitude de mise au point est grande et inversement plus l'optique est ouverte, plus la mise au point est critique.

Quelques ordres de grandeur
(pour λ = 0.55μm)

RIO et Transformée de Fourier (1821)

La pupille est la surface (pseudo-plan) d'où part, en phase, le front d'onde lumineuse provenant de l'infini. (ex : miroir primaire).

La fonction de pupille f(x, y) en cartésien ou f(ρ,θ) en polaire décrit l'amplitude lumineuse pupille en chaque point (valeurs relatives).
Exemple : Transparence sans masque : f = 1 pour ρ < D/2 et = 0 pour ρ > D

Magie : La sommation F des ondes lumineuses diffractées par la pupille correspond à la sommation effectuée par la transformée de Fourier de la fonction f : F = TF(f)

L'oeil, les capteurs perçoivent une intensité qui est le carré |F|² de cette amplitude. Cette intensité est la réponse impulsionnelle optique (R.I.O) ou point-spread function (PSF).
Sans masque (f = 1) et avec D infini la R.I.O. est un pic de Dirac.
Pour D fini ce pic devient la cloche ci-contre qui correspond à la tache d'Airy.

RIO d'un réseau de fentes de pas p

• Le pic central (k = 0) provient de l'éclairage uniforme global (fréquence nulle)
• Les pics (k = 1) correspondent à la fréquence fondamentale f = 1/p.
• Dans le plan de Fourier, ils sont situés à la distance f = k/p du pic (k = 0), dans la direction de propagation de l'onde.
• Les pics suivants (k = 2, 3...) proviennent des harmoniques de fréquence k/p

Fraunhofer : les raies(1814)

le spectroscope, la monture équatoraile allemande

RIO d'un réseau de fentes verticales

• Dans le plan image le point lumineux central correspond à la tache d'Airy de l'éclairement uniforme. Les autes pics, liés aux harmoniques de l'onde spatiale de longueur d'onde p et de fréquence f = 1/p, sont symétriques et situés à la distance angulaire :
  \[ d_{\alpha} = k \lambda f = \lambda \frac{k}{p} \]
• En multipliant par la distance focale F on obtient la distance métrique :
  \[ d_{m} = \lambda F \frac{k}{p} \]
• Remarque : λ_bleu = 0.4µ et λ_rouge = 0.7µ ==> le pic rouge k = 2 chevauche le pic bleu k = 3 !!!
• Remarque : Pour p = D, d_m1 = λF/D : la distance du 1er pic correspond au rayon de la tache d'Airy.
• Pour p = D/10 la distance du 1er pic est approximativement à 5 fois le diamètre de la tache d'Airy.

RIO d'un masque de Bahtinov

Un masque de Bahtinov classique comprend 3 réseau de fentes :

• le réseau de fentes horizontales génère dans la R.I.O une ligne verticale de pics lumineux.
• les deux réseaux de fentes obliques génèrent dans la R.I.O. deux lignes inclinées de pics lumineux qui forment un X.
• Ces 3 lignes se coupent au niveau de la tache d'Airy.
• Une défocalisation δ produit un décalage latéral dx de la ligne verticale par rapport à l'intersection des lignes obliques, proportionnel à δ :
  \[ d_{x} \simeq 0.28 \frac{\delta}{N_{F}} \]

Paramètres du masque - 1

Inclinaison et Pas oblique

Paramètres du masque - 2

Effet pas horizontal et ratio Blanc/Pas

• On peut faire varier \( \rho = p_h/p_o \). Pour ρ = 1, les pics k = 1 vertical et obliques sont à la même distance de la tache d'Airy. Autour de ρ = cos 20° = 0.94 ils sont à la même hauteur. L'effet est marginal.
• Ci-contre, avec pas horizontal plus serré que pas oblique \( p_h / p_o = 0.53 \) => le mode 1 vertical est au niveau du mode 2 oblique
• Ligne verticale : blanc/pas = 0.5, le mode 1 est max (approx. 1/50^ème de tache d'Airy), mode 2 absent, mode 3 max mais peu visible
• Lignes obliques : blanc/pas = 0.25 ou 0.75, le mode 2 est presque aussi fort que le mode 1

Exemples avec divers paramètres

Conclusion

• Plus le pas est fin, plus les pics sont visibles (mais plus les barre sont fines, plus elles sont fragiles).
• L'intérêt d'un rapport \( p_h/p_o \neq 1 \) n'est pas évident.
• L'intéret d'un rapport blanc/pas \( \neq 0.5 \) n'est pas évident.

Et ensuite ...

https://github.com/insertnamehere1/Bahtinov-Collimator